Christoffel vector

$ \pmb{\Gamma}^\mathsf{EF}_{ij}:=\frac{\partial \pmb{f}_j}{\partial \bar{e}_i}

$ {\Gamma_{ij}}^k={k\brace i\ j}=\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ij}\cdot\bar{e}_k

性質

対称性

$ \pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}=\frac{\partial \pmb{f}_j}{\partial \bar{e}_i}=\frac{\partial^2\pmb r}{\partial\bar{e}_i\partial\bar f_j}=\frac{\partial^2\pmb r}{\partial\bar{f}_j\partial\bar e_i}=\frac{\partial \pmb{e}_i}{\partial \bar{f}_j}=\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ji}

$ \pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}=\frac12\bar{\pmb g}_k\left(\frac{\partial[\pmb I]^{\sf FG}_{jk}}{\partial \bar e_i}+\frac{\partial[\pmb I]^{\sf GE}_{ki}}{\partial \bar f_j}-\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EF}_{ij}}{\partial \bar g_k}\right)

双対の変換

$ \pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{ij}=-\bar{\pmb e}_k\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}

$ \because0=\frac{\partial\pmb e_i\cdot\bar{\pmb e}_j}{\partial\bar e_k}=\pmb e_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{jk}+\bar{\pmb e}_j\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}

$ \implies\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{jk}=-\bar{\pmb e}_i\bar{\pmb e}_j\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}

座標変換

$ \pmb\Gamma^{\sf GH}_{ij}=[\pmb I]^{\sf G\bar E}_{ik}\pmb\Gamma^{\sf EF}_{kl}[\pmb I]^{\sf\bar FH}_{lj}

あとで書き直す

テンソル談義からトレース

$ [\pmb I]^{\sf F\bar F}_{jr}+\pmb\Gamma^{\sf FF}_{ji}[\pmb v]^{\sf \bar F}_i\cdot\bar{\pmb f}_r=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar E}_{ml}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\cdot\bar{\pmb e}_l\right)[\pmb I]^{\sf E\bar F}_{lr}

こう導出できる

$ [\pmb I]^{\sf F\bar F}_{jr}+\pmb\Gamma^{\sf FF}_{ji}[\pmb v]^{\sf \bar F}_i\cdot\bar{\pmb f}_r

$ =[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar F}_{mr}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{mi}[\pmb v]^{\sf \bar F}_i\cdot\bar{\pmb f}_r\right)

$ =[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar F}_{mr}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{mi}[\pmb I]^{\sf \bar FE}_{ik}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\cdot\bar{\pmb f}_r\right)

$ =[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar E}_{ml}[\pmb I]^{\sf E\bar F}_{lr}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\cdot\bar{\pmb e}_l[\pmb I]^{\sf E\bar F}_{lr}\right)

$ =[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar E}_{ml}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\cdot\bar{\pmb e}_l\right)[\pmb I]^{\sf E\bar F}_{lr}

$ \pmb T=\sum_{k,l,m}\left([\pmb I]^{\sf E\bar E}_{ml}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\cdot\bar{\pmb e}_l\right)\bar{\pmb e}_m\pmb e_l

$ =\sum_{k,l,m}\left(\pmb e_m\bar{\pmb e}_m+\bar{\pmb e}_m\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\right)

$ = \pmb I+\sum_k[\pmb v]^{\sf \bar E}_k(\pmb\nabla\pmb e_k)

$ = \pmb I+\pmb v\cdot\sum_k\bar{\pmb e}_k(\pmb\nabla\pmb e_k)

$ [\pmb\nabla\pmb v]^{\sf EF}_{ij}=\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_i}\cdot\pmb f_j=\frac{\partial[\pmb v]^{\sf F}_j}{\partial\bar e_i}-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\pmb{v}

$ \pmb\nabla\cdot\pmb A=\pmb e_i\cdot\frac{\partial\pmb A}{\partial e_i}=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\bar{\pmb f}_j}{\partial e_i}-\pmb\Gamma^{\sf \bar EE}_{ii}\cdot\pmb A=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}}{\partial e_i}\bar{\pmb f}_j+[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar F}_{ij}-\pmb\Gamma^{\sf \bar EE}_{ii}\cdot\pmb A

$ =\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\cdot\pmb e_i[\pmb A]^{\sf EF}_{jk}\bar{\pmb f}_k+\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EF}_{ik}}{\partial e_i}\bar{\pmb f}_k+[\pmb A]^{\sf EF}_{ik}\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar F}_{ik}

同一の式になる

$ [\pmb\nabla\cdot\pmb A]^{\sf F}_k=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EF}_{ik}}{\partial e_i}+[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar F}_{ij}\cdot\pmb f_k-\pmb\Gamma^{\sf \bar EE}_{ii}\cdot\pmb[\pmb A]^{\sf EF}_{jk}\bar{\pmb e}_j

$ [\pmb\nabla^2\pmb v]^{\sf E}_i=

$ \frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_i}=\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}[\pmb v]^{\sf\bar E}_j+\frac{\partial[\pmb v]^{\sf\bar E}_j}{\partial\bar f_i}\pmb e_j

$ =\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}[\pmb v]^{\sf\bar E}_j+\frac{\partial[\pmb v]^{\sf\bar E}_j}{\partial\bar f_i}\pmb e_j\right)\cdot\bar{\pmb e}_k\pmb e_k

$ =\pmb e_k\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k+[\pmb I]^{\sf E\bar E}_{jk}\frac{\partial}{\partial\bar f_i}\right)[\pmb v]^{\sf\bar E}_j

$ =\pmb e_k\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k+\llbracket j=k\rrbracket\frac{\partial}{\partial\bar f_i}\right)[\pmb v]^{\sf\bar E}_j

$ =\pmb e_k\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k[\pmb v]^{\sf\bar E}_j+\frac{\partial[\pmb v]^{\sf\bar E}_k}{\partial\bar f_i}\right)

$ \therefore \bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_i}=\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k+\llbracket j=k\rrbracket\frac{\partial}{\partial\bar f_i}\right)[\pmb v]^{\sf\bar E}_j

$ \nabla_k v^\lambda=\frac{\partial[\pmb v]^{\sf\bar E}_\lambda}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf FE}_{k\mu}\cdot\bar{\pmb e}_\lambda[\pmb v]^{\sf\bar E}_\mu=\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}\cdot\bar{\pmb e}_\lambda

$ v^i|_j=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i[\pmb v]^{\sf\bar E}_k=\left[\frac{\partial\pmb{v}}{\partial\bar{e}_j}\right]^\mathsf{\bar{E}}_i=\left[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\right]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}=\left[\pmb\nabla\pmb v\right]^{\sf E\bar E}_{ji}

$ \pmb\nabla\pmb v=\pmb e_i\frac{\partial\pmb v}{\partial e_i}=\frac{\partial\pmb r}{\partial \bar e_i}\frac{\partial\pmb v}{\partial e_i}

$ \pmb\nabla|\pmb r|=\frac12\frac{1}{|\pmb r|}\left(\pmb e_i\frac{\partial\pmb r}{\partial e_i}\cdot\pmb r+\pmb e_i\pmb r\cdot\frac{\partial\pmb r}{\partial e_i}\right)

$ = \frac{1}{2|\pmb r|}(\pmb e_i\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb r+\pmb e_i\pmb r\cdot\bar{\pmb e}_i)

$ = \frac{1}{|\pmb r|}\pmb e_i\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb r

$ = \frac{1}{|\pmb r|}\pmb I\cdot\pmb r

$ = \frac{1}{|\pmb r|}\pmb I\cdot\pmb r

$ =\hat{\pmb r}

$ \pmb\nabla\cdot\pmb A=\bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb e_i\pmb e_j}{\partial\bar e_k}

$ =\bar{\pmb e}_k\cdot\pmb e_i\pmb e_j\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}}{\partial\bar e_k}+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_k}\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\bar{\pmb e}_k\cdot\pmb e_i\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_k}

$ =\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}}{\partial\bar e_i}\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_k}\cdot\bar{\pmb e}_k\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_i}

$ =\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}}{\partial\bar e_i}\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}\cdot\bar{\pmb e}_k\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}

vectorの発散の式を使えば、もっと簡単に計算できる

$ \pmb\nabla\cdot\pmb A=\bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb e_i\pmb e_j}{\partial\bar e_k}

$ =\bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb e_i}{\partial\bar e_k}\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\bar{\pmb e}_k\cdot\pmb e_i\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_k}

$ =\left(\pmb\nabla\cdot[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb e_i\right)\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_i}

$ = \frac{1}{\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left([\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}\right)\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}

大人しく、こいつの計算方法が載っている資料を探すか……